Question

【題目】如圖所示，點P在∠AOB內，點M、N分別是點P關于AO、BO所在直線的對稱點．

（1）若△PEF的周長為20，求MN的長．

（2）若∠O=50°，求∠EPF的度數．

（3）請直接寫出∠EPF與∠O的數量關系是_____________________________

Answer 1

【答案】（1）20；（2）80°；（3）∠EPF= 180°-2∠O

【解析】

（1）根據軸對稱的性質可得EM=EP，FP=FN，進而推出MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周長即可；

（2）由（1）及等腰三角形的性質、四邊形的內角和找出∠M+∠N與∠O、∠EPF與∠O的關系即可；

（3）由（2）可直接得到∠EPF= 180°-2∠O.

解：（1）∵點M、N分別是點P關于AO、BO所在直線的對稱點．

∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，

∴EM=EP，FP=FN，

∴MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP=△PEF的周長，

又∵△PEF的周長為20，

∴MN=20 cm.

（2）由（1）知：EM=EP，FP=FN，

∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，

∵∠PCE=∠PDF=90°，

∴在四邊形OCPD中，∠CPD+∠O=180°，

又∵在△PMN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，且∠CPD+∠O=180°，

∴∠M+∠N=∠O=50°.

∴在△PEF中，∠EPF +∠PEF+∠PFE=∠EPF +2∠M +2∠N =180°，

即∠EPF=180°-2∠M -2∠N =180°-2(∠M +∠N)= 180°-2∠O=80°.

（3）由（2）可直接得到∠EPF= 180°-2∠O.

故答案為：∠EPF= 180°-2∠O.