Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+2x+3的頂點為D，它與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）求頂點D的坐標；

（2）求直線BC的解析式；

（3）求△BCD的面積；

（4）當點P在直線BC上方的拋物線上運動時，△PBC的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值，并且寫出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（1，4）；（2）y＝﹣x+3；（3）3；（4）存在，點P（，）．

【解析】

（1）函數的對稱軸為：x＝1，當x＝1時，y＝﹣1+2+3＝4，即可求解；

（2）點B、C的坐標分別為：（3，0）、（0，3），將點B、C的坐標代入一次函數表達式即可求解；

（3）△BCD的面積＝×DG×OB，即可求解；

（4）則S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3），即可求解．

解：（1）函數的對稱軸為：x＝1，

當x＝1時，y＝﹣1+2+3＝4，

故點D（1，4）；

（2）y＝﹣x2+2x+3的頂點為D，它與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，

則點A、B、C的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

將點B、C的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得： ，解得： ，

故直線BC的表達式為：y＝﹣x+3；

（3）過點D作DG∥y軸交BC于點G，則點G（1，2），

△BCD的面積＝×DG×OB＝（4﹣2）×3＝3；

（4）過點P作y軸的平行線交BC于點H，

設點P（x，﹣x2+2x+3），點H（x，﹣x+3），

則S△PBC＝×PH×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x（x﹣3），

∵，

∴S△PBC有最大值，最大值為：，

此時點P（，）．