Question

【題目】如圖，、是正方形的邊上的兩個動點，滿足，連接交于點，連接交于點，連接，若正方形的邊長為2，則線段的最小值是（ ）

A.2B.1C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質可得BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA，∠ACD＝∠ACB，然后利用“HL”證明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”證明△DCE和△BCE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠2＝∠3，從而得到∠1＝∠3，然后求出∠DFA＝90°，取AD的中點O，連接OF、OC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF＝AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根據三角形的三邊關系可知當O、F、C三點共線時，CF的長度最小．

解：在正方形ABCD中，BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACD＝∠ACB，

在Rt△ADM和Rt△BCN中，

，

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），

∴∠1＝∠2，

在△DCE和△BCE中，

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，

∴∠1+∠ADF＝90°，

∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，

取AD的中點O，連接OF、OC，

則OF＝OD＝AD＝1，

在Rt△COD中，OC＝，

當O、F、C三點不共線時，OC－OF＜CF，

當O、F、C三點共線時，OC－OF＝CF，

∴當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，

最小值＝OC﹣OF＝．

故選：C．