Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，連接AD，過B作BE⊥AD，垂足為E，交AC于點F，連接CE．

（1）求證：△BCF≌△ACD．

（2）猜想∠BEC的度數，并說明理由；

（3）探究線段AE，BE，CE之間滿足的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°；（3）BE=AE+CE．

【解析】

試題（1）由垂直的定義得到∠ACB=90°根據全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）取AB的中點M，連接CM，EM，根據圓周角定理即可得到結論；

（3）作CG⊥CE交BE于G，根據等腰直角三角形的性質得到CG=CE，根據全等三角形的性質得到BG=AE，于是得到結論．

試題解析：解：（1）∵BE⊥AD，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=90°﹣∠D，在△BCF和△ACD中，∵∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACD=90°，∴△BCF≌△ACD；

（2）∠BEC=45°．理由：取AB的中點M，連接CM，EM，則CM=EM=AB=AM=BM，∴點A，B，C，E在同一個圓（⊙M）上，∴∠BEC=∠BAC=45°；

（3）BE=AE+CE．證明如下：

作CG⊥CE交BE于G，∵∠BEC=45°，則∠CGE=45°=∠BEC，CG=CE，∴∠BGC=135°=∠AEC，EG=CE，在△BCG和△ACE中，∵∠1=∠2，∠BGC=∠AEC，BC=AC，∴△BCG≌△ACE，∴BG=AE，∴BE=BG+EG=AE+CE．