Question

【題目】定義：有兩條邊長的比值為的直角三角形叫做“魅力三角形”我們知道，命題“直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”是一個真命題，所以“含30°角的直角三角形”就是一個“魅力三角形”

（1）設“魅力三角形”較短直角邊為a，較長直角邊為b，請你直接寫出的值．

（2）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，D是AB的中點，點E在CD上，滿足AD＝DE，連結AE，過點D作DF∥AE交BC于點F

①如果點E是CD的中點，求證：△BDF是“魅力三角形”

②如果△BDF是“魅力三角形”，且BF＝BC，求線段AC的長

（二次根式運算提示：（）2＝n2（）2＝n2a，比如：（4）2＝42（）2＝16×3＝48）

Answer 1

【答案】（1）或2;（2）①見解析;②AC的長為2或10或2或．

【解析】

（1）設斜邊長為c，分兩種情況①當時，c=2a，由勾股定理求出b，即可得出的值；
②當時，b=2a，即可得出的值；

（2）①證出∠BCD=30°，得出∠BDC=60°，由平行線的性質和等腰三角形的性質得出∠EDF=∠BDF=30°，由直角三角形的性質得出BF=DF，即可得出結論；
②分四種情況 當=時，求出BD=BF=1，得出AB=2BD=2，由勾股定理得出AC==2；
當=時，求出BD=2BF=4，得出AB=2BD=8，由勾股定理AC==10；
當=時，求出DF=2BF=4，由勾股定理得出BD==2，得出AB=2BD=4，由勾股定理得出AC==2；
當=時，由勾股定理求出BD=，得出AB=2BD=，由勾股定理得出AC==即可．

（1）解：設斜邊長為c，分兩種情況：

①當時，c＝2a，

則b＝，

∴＝＝；

②當時，b＝2a，

∴＝2；

綜上所述，的值為或2；

（2）①證明：∵D是AB的中點，

∴AD＝BD，

∵AD＝DE，

∴BD＝DE，

∵點E是CD的中點，

∴DE＝CD，

∴BD＝CD，

∵∠B＝90°，

∴∠BCD＝30°，

∴∠BDC＝60°，

∵DF∥AE，

∴∠DEA＝∠EDF，∠DAE＝∠BDF，

∵AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴∠EDF＝∠BDF＝30°，

∴BF＝DF，

∴＝，

∴△BDF是“魅力三角形”；

②解：分四種情況：

當=時，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

∴BD＝BF＝1，

∵D是AB的中點，

∴AB＝2BD＝2，

∴AC＝＝＝2；

當=時，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

∴BD＝2BF＝4，

∵D是AB的中點，

∴AB＝2BD＝8，

∴AC＝＝＝10；

當=時，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

∴DF＝2BF＝4，

∴BD===2，

∵D是AB的中點，

∴AB＝2BD＝4，

∴AC==2；

當=時，

∴DF＝2BD，

∵BF＝BC，BC＝6，

∴BF＝2，

由勾股定理得：DF2﹣BD2＝BF2，即（2BD）2﹣BD2＝22，

解得：BD=，

∴AB＝2BD＝，

∴AC＝

＝＝；

綜上所述，如果△BDF是“魅力三角形”，且BF＝BC，線段AC的長為2或10或2或．