Question

拋物線y=ax²+bx+c經過直角△ABC的頂點A（-1，0），B（4，0），直角頂點C在y軸上，若拋物線的頂點在△ABC的內部（不包括邊界），則a的范圍是______．

Answer 1

∵點A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

1

OC

=

OC

4

，
解得OC=2，
∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0），B（4，0），
∴對稱軸為直線x=

-1+4

2

=

3

2

，
設對稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，
則BQ=4-

3

2

=2.5，
tan∠ABC=

OC

OB

=

PQ

BQ

，
即

2

4

=

PQ

2.5

，
解得PQ=

5

4

，
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
則y=a（x²-3x-4）=a（x-

3

2

）²-

25

4

a，
當點C在y軸正半軸時，0＜-

25

4

a＜

5

4

，
解得-

1

5

＜a＜0，
當點C在y軸負半軸時，-

5

4

＜-

25

4

a＜0，
解得0＜a＜

1

5

，
所以，a的取值范圍是-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．
故答案為：-

1

5

＜a＜0或0＜a＜

1

5

．