Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓O的三等分點，過點C作⊙O的切線交AD的延長線于點E，過點D作DF⊥AB于點F，交⊙O于點H，連接DC，AC．
（1）求證：∠AEC=90°；
（2）試判斷以點A，O，C，D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若DC=2，求DH的長．

Answer 1

（1）證明見解析；
（2）四邊形AOCD為菱形；
（3）DH=2．

試題分析：（1）連接OC，根據EC與⊙O切點C，則∠OCE=90°，由題意得，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，則∠AEC+∠OCE=180°，從而得出∠AEC=90°；
（2）四邊形AOCD為菱形．由（1）得，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
（3）連接OD．根據四邊形AOCD為菱形，得△OAD是等邊三角形，則∠AOD=60°，再由DH⊥AB于點F，AB為直徑，在Rt△OFD中，根據sin∠AOD=，求得DH的長．
試題解析：（1）連接OC，

∵EC與⊙O切點C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵點CD是半圓O的三等分點，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四邊形AOCD為菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；
（3）連接OD．
 
∵四邊形AOCD為菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于點F，AB為直徑，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．