Question

如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判斷直線CD和⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求BE的長．

Answer 1

解：（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，理由見解析
（2）BE=6．

試題分析：（1）連接OD，可知由直徑所對的圓周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，從而得∠CDO=90°，根據切線的判定即可得出；
（2）由已知利用勾股定理可求得DC的長，根據切線長定理有DE=EB，根據勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
試題解析：（1）直線CD和⊙O的位置關系是相切，
理由是：連接OD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
∴直線CD是⊙O的切線，
即直線CD和⊙O的位置關系是相切；
（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
設DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE²=BE²+BC²，
則（4+x）²=x²+（5+3）²，
解得：x=6，
即BE=6．