Question

如圖，在Rt中，，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）求證：；
（3）當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，求證：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

．（1）證明見解析
（2）證明見解析
（3）證明見解析

試題分析：（1）由AC是直徑，可得∠ADC=90°，從而可得∠BDC=90°，若要證明點E是BC邊的中點，只需證明DE=CE=BE即可，由已知、切線的性質以及圓的性質就可以得到了；
由∠BDC=∠ACB，∠B=∠B可得△ABC∽△CDB，利用對應邊成比例就可得到
當以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時，可知∠OCD=45°，由AC是直徑可得∠ADC=90°，從而得出∠A=45°繼而得出△ABC是等腰直角三角形．

試題解析：（1）如圖，連接OD．∵DE為切線，∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．
∴EB=EC，即點E為邊BC的中點；
（2）∵AC為直徑，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC2=BD•BA；
（3）當四邊形ODEC為正方形時，∠OCD=45°；∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°
∴Rt△ABC為等腰直角三角形．