Question

【題目】綜合與探究 如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過兩點且與軸的負半軸交于點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若為直線上方拋物線上的一個動點，當時，求點的坐 標；

（3）已知分別是直線和拋物線上的動點，當以為頂點的四邊形 是平行四邊形，且以為邊時，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為或或．

【解析】

（1）求得A，B兩點的坐標，代入拋物線的解析式，獲得b，c的值，即可求出拋物線的解析式；

（2）通過平行線分割2倍角條件，得到相等的角關系，利用等角的三角函數值相等，得到點的坐標；

（3）B，O，E，F四點作平行四邊形，當OB為邊時，以EF=OB的關系建立方程求解.

解：在中，令得，令得

把代入，

得

解得：

拋物線的解析式為

如圖，過點作軸的平行線交拋物線于點，過點作的垂線，垂足為點

軸

即

設點的坐標為

則

，

即

解得：

經檢驗，是分式方程的解

當時，

點的坐標為

點的坐標為或

當BO為邊時，OB∥EF，OB=EF

設E(m,m+2)，F(m, m2+m+2)

EF==2

解得=2，，

當=2時，m+2=×2+2=1；

當時，m+2=×（2-2）+2=1+；

當時，m+2=×（2+2）+2=1-

∴E點的坐標為(2,1)或(2-2,1+)或(2+2,1-).

故答案為（1）；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為或或．