Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E在AD上，且DE＝CD，連接OE，∠ABE＝∠ACB，若AE＝2，則OE的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

注意到∠ABE＝ACB，于是作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．設BE與AC的交點為G．推出△CBG與△AGE均為等腰三角形，設矩形的寬為x，然后表示出BC和AC的長度，由勾股定理列方程解出x，接下來利用∠ADB的正弦值和余弦值求出EF和OF，EF的長度，OE的長度也就可以算出來了．

解：如圖，作CH⊥BE于H，EF⊥BD于F．設BE與AC的交點為G．

則∠HBC+∠BCH＝∠BHC＝90°，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AC＝BD

∴∠ABE+∠CBH＝90°，

∴∠ABE＝∠BCH，

∵∠ABE＝∠ACB，

∴∠BCH＝∠GCH，

∴BH＝GH，BC＝CG，∠CBH＝∠CGH，

設AB＝x，則ED＝CD＝AB＝x，

∵AE＝2，所以AD＝AE+ED＝2+x，

∴CG＝CB＝2+x，

∵AD∥BC，

∴∠AEG＝∠CBH＝∠CGH＝∠AGE，

∴AG＝AE＝2，

∴AC＝AG+CG＝4+x，

在Rt△ABC中：AB2+BC2＝AC2，

∴x2+（x+2）2＝（x+4）2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍），

∴AB＝CD＝6，AD＝AC＝8，AC＝BD＝10，

∵AC與BD交于點O，

∴AO＝BO＝CO＝DO＝5，

∵sin∠BDA＝＝＝，cos∠BDA＝＝＝，

∴EF＝ED＝，DF＝ED＝

∴OF＝OD﹣DF＝5﹣＝

在Rt△EFO中：

OE2＝OF2+EF2＝（）2+（）2＝＝13，

∴OE＝．

故答案為：