Question

【題目】如圖，中，以為直徑作⊙，交于點(diǎn)，為弧上一點(diǎn)，連接、、，交于點(diǎn).

(1)若，求證:為⊙的切線;

(2)若，求證:平分;

(3)在(2)的條件下，若，求⊙的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)AB為⊙直徑，得出=90°，即°，，，推出，即°，

所以==90°，得出AC為⊙的切線；（2）證明， 得到，因為，所以，即可得到AE平分；（3）過點(diǎn)F作FH⊥AB于H可證，可得AH=AD=4，FH=DF=2；可證故；BH=x，則BD=2x，BF=2x-2，利用勾股定理可得，；解得BH=，AB=BH+AH=，由AO=AB=，即可得⊙的半徑.

（1）證明：∵AB為⊙直徑，

∴=90°，

∴°，

∵，，

∴，

∴°，

即°，

∴AC為⊙的切線；

（2）證明：∵，

∴；

∵，

∴；

∴，

∵，

∴；

即AE平分.

（3）解：過點(diǎn)F作FH⊥AB于H.

∴°；

又∵，AF=AF，

∴；

∴AH=AD=4，FH=DF=2；

∵°，，

∴，

∴；

設(shè)BH=x，則BD=2x，BF=2x-2，

∴，

∴；

∴x=0(舍)或x=；

∴BH=，AB=BH+AH=；

∴AO=AB=；

∴⊙的半徑為.