Question

【題目】我們定義：如圖1，在中，把繞點順時針旋轉得到，把繞點逆時針旋轉得到，連接．當時，我們稱是的“旋補三角形”，邊上的中線叫做的“旋補中線”．

（特例感知）

（1）在圖2，圖3中，是的“旋補三角形”，是的“旋補中線”．

①如圖2，當為等邊三角形，且時，則長為 ．

②如圖3，當，且時，則長為 ．

（猜想論證）

（2）在圖1中，當為任意三角形時，猜想與的數量關系，并給予證明．（如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長或延長，……）

（拓展應用）

（3）如圖4，在四邊形中，，，，以為邊在四邊形內部作等邊，連接，．若是的“旋補三角形”，請直接寫出的“旋補中線”長及四邊形的邊長．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2），見解析；（3），

【解析】

（1）①由旋補三角形的概念可證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=BC即可解決問題；

②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

（2）結論：AD=BC．如圖1中，延長AD到Q，使得AD=DQ，連接B′Q，C′Q，首先證明四邊形AC′QB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′Q，即可解決問題；

（3）由，是等邊三角形可得，由旋補三角形的概念可得，PB=PA，進而求出PB的長，再根據勾股定理就可求出BC的長，由（2）的結論即可求出旋補中線PE的長和AD的長．

解：（1）①∵是的“旋補三角形”，

∴，，,

∵為等邊三角形，且，

∴，，

∴是等腰三角形，，

∴AD⊥，，

∴AD=3，

②∵是的“旋補三角形”，

∴，，,

∵，

∴，

∴，

∴，

∵AD為中線，

∴；

（2)猜想：

如圖，延長至Q，使．

∵是的“旋補中線”，．

四邊形是平行四邊形，

，．

由定義可知，，

，，，．

∵，；

（3）過點P作PE⊥AB，取AD的中點F，連接PF，延長DP，過點A作AM⊥DM，如圖，

∵，△PCD是等邊三角形，

∴，

∵CD=6，

∴PC=CD=PD=6，

∵是的“旋補三角形”，

∴，PB=PA，，

∴△PAB是等腰三角形，，

∵PE⊥AB，

∴EB=EA

∵AB=12，

∴BE=6，，

在△PBC中，由勾股定理得，

，

由（2）可知，，

∴，

∵，

∴,

∵,

∴，

∴，，

∴MD=12，

在△AMD中，由勾股定理得，

∴．