Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的與邊分別交于兩點，過點作于點．

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；

(2)求證：為的中點．

Answer 1

【答案】（1）與相切，理由詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）連結OD、AD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，則根據等腰三角形的性質得BD＝CD，再證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根據切線的判定定理可判斷DH為⊙O的切線；
（2）連結DE，如圖，有圓內接四邊形的性質得∠DEC＝∠B，再證明∠DEC＝∠C，然后根據等腰三角形的性質得到CH＝EH；

（1）解：DH與⊙O相切．理由如下：
連結OD、AD，如圖，

∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH為⊙O的切線；

（2）證明：連接．

∵四邊形為的內接四邊形，

．

，

，

，

．

，

，即為的中點．