Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3 ，點D為BA延長線上的一點，且∠D=∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．
（1）求BC的長；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點A作AE⊥BC，垂足為E，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

在Rt△ABE中，∵sinB= ，

∴AE=ABsinB=3 sin45°=3 × =3，

∵∠B=45°，

∴∠BAE=45°，

∴BE=AE=3，

在Rt△ACE中，

∵tan∠ACB= ，

∴EC= = = = ，

∴BC=BE+EC=3+

（2）解：連接AO并延長到⊙O上一點M，連接CM，

由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC= ，

∴AC=2 ，

∵∠D=∠M=60°，

∴sin60°= = = ，

解得：AM=4，

∴⊙O的半徑為2

【解析】（1）根據題意得出AE的長，進而得出BE=AE，再利用tan∠ACB= ，求出EC的長即可；（2）首先得出AC的長，再利用圓周角定理得出∠D=∠M=60°，進而求出AM的長，即可得出答案．
【考點精析】掌握圓周角定理和三角形的外接圓與外心是解答本題的根本，需要知道頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．