Question

16．如圖1，直線AB：y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸、y軸分別交于A、D兩點，點B的橫坐標為3．點C（9，0），連接BC，點E是y軸正半軸上一點，連接AE，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在x軸上的點D₁處．
（1）求點E的坐標；
（2）連接EC，點F（m，0），G（m+2，0）為x軸上兩點，其中3＜m＜7．過點F作FF₁⊥x軸交BC于點F₁，交EC于點M過點G作GG₁⊥x軸交BC于點G₁，交EC于點N，當F₁M+G₁N=10時，求m的值；
（3）如圖2，在等邊△PQR中，PR⊥x軸且PR=4（點Q、R在x軸上方）．△PQR從點C出發以每秒2個單位長度的速度沿x軸負方向運動，設運動的時間為t，當t為何值時，點Q到直線AC和直線AB的距離相等？

Answer 1

分析 （1）先確定出點A，B，D的坐標，進而得出得出AD=10，再由折疊得出OD₁=4，最后用勾股定理即可得出結論；
（2）先確定出直線CE，BC解析式，進而得出點F₁，M，G₁，N的坐標即可得出F₁M，G₁N，最后建立方程即可得出結論；
（3）先確定出點Q到直線AC的距離，進而得出NQ'=2，再由運動得出QQ'的長度，最后用NQ'=2建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵直線AB：y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸、y軸分別交于A、D兩點，點B的橫坐標為3．
∴A（-6，0），B（3，12），D（0，8），
∴AD=10，
∵將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在x軸上的點D₁處．
∴ED₁=ED，AD₁=AD=10，
∴OD₁=AD₁-OA=4，
∵OD=8，∴ED₁=OD-OE=8-OE，
在Rt△OD₁E中，D₁E²-OE²=OD₁²，
∴（8-OE）²-OE²=16，
∴OE=3，
∴E（0，3）；
（2）由（1）知，E（0，3），
∵C（9，0），
∴直線CE解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3，
∵B（3，12），C（9，0），
∴直線BC的解析式為y=-2x+18；
點F（m，0），G（m+2，0）為x軸上兩點，其中3＜m＜7．FF₁⊥x，GG₁⊥x軸，
∴F₁（m，-2m+18），M（m，-$\frac{1}{3}$m+3），G₁（m+2，-2m+16），N（m+2，-$\frac{1}{3}$（m+2）+3），
∴F₁M=-2m+18-[-$\frac{1}{3}$m+3]=-$\frac{5}{3}$m+15，G₁N=-2m+16-[-$\frac{1}{3}$（m+2）+3]=-$\frac{5}{3}$m+$\frac{41}{3}$，
∵F₁M+G₁N=10，
∴-$\frac{5}{3}$m+15+（-$\frac{5}{3}$m+$\frac{41}{3}$）=10，
∴m=$\frac{56}{5}$，
（3）如圖2，過點Q作QM⊥AC于M，過點Q作QN∥x軸，
∵△PCQ為邊長為4等邊三角形，
∴PQ=4，∠RCQ=60°，
∵PR⊥x軸，
∴∠RPA=90°，
∴∠MPQ=30°，
在Rt△PQM中，CQ=4，
∴QM=2，CM=2$\sqrt{3}$，
∴Q（9-2$\sqrt{3}$，2），
∵點Q到AB的距離為2，即：NQ'=2，
∵直線AB解析式為y=$\frac{4}{3}$x+8，
∴N（-$\frac{9}{2}$，2），
由運動知，QQ'=2t，
∴Q'（9-2$\sqrt{3}$-2t，2），
∴Q'N=|9-2$\sqrt{3}$-2t|=2，
∴t=$\frac{7-2\sqrt{3}}{2}$或t=$\frac{11-2\sqrt{3}}{2}$，
∴當t為$\frac{7-2\sqrt{3}}{2}$或$\frac{11-2\sqrt{3}}{2}$，時，點Q到直線AC和直線AB的距離相等．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法，坐標軸上點的特征，折疊的性質，平行于坐標軸的兩點的距離的求法，運動問題，確定出平行于坐標軸上兩點的距離是解本題關鍵．