Question

如圖，△ABC中，BC >AC，點D在BC上，且CA=CD，∠ACB的平分線交AD于點F，E是AB的中點．
（1）求證：EF∥BD ；
（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四邊形BDFE的面積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）由題意可推出△ADC為等腰三角形，CF為頂角的角平分線，所以也是底邊上的中線和高，因此F為AD的中點，所以EF為△ABD的中位線，即EF∥BD.
（2）根據（1）的結論，可以推出△AEF∽△ABD，且S△AEF：S△ABD=1：4，所以S△AEF：S四邊形BDEF=1：3，即可求出△AEF的面積，從而由求得四邊形BDFE的面積．
（1）∵ CA=CD，CF平分∠ACB，∴ CF是AD邊的中線．
∵ E是AB的中點，∴ EF是△ABD的中位線．
∴ EF∥BD .
（2）∵∠ACB=60°，CA=CD，∴△CAD是等邊三角形．
∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8．∴ BD=BC-CD=4．
如圖，過點A作AM⊥BC，垂足為M ．
∴．．
∵ EF∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且．
∴．∴．
四邊形BDFE的面積=．