Question

【題目】在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“培圣三角形”，如：三個內角分別為120、 40、 20的三角形是“培圣三角形”.如圖， MON 60，在射線OM 上找一點 A ，過點 A 作 AB OM 交ON 于點 B ，以 A 為端點作射線 AD ， 交線段OB 于點C （規定0 OAC 90 ）.

（1） ABO 的度數為_____， AOB____（填“是”或“不是”）培圣三角形；

（2）若BAC 60，求證： AOC 為“培圣三角形”；

（3）當ABC 為“培圣三角形”時，求OAC 的度數.

Answer 1

【答案】（1）30°，是（2）見解析（3）80°或52.5°或30°.

【解析】

（1）根據垂直的定義、三角形的內角和定理求出∠ABO的度數，根據“培圣三角形”的定義即可求解；

（2）根據“培圣三角形”的定義證明∠ACO=3∠OAC，即可求解；

（3）設∠OAC=x,則∠BAC=90°-x,∠ACB=60+x,∠ABC=30°，根據“培圣三角形”的定義性質即可分情況討論求解.

（1）∵AB⊥OM，

∴∠OAB=90°，

∴∠ABO=90°-∠MON=30°，

∵∠OAB=3∠AB0，

∴AOB是“培圣三角形”

（2）∵AB⊥OM，

∴∠OAB=90°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAC=∠BAO-∠BAC=30°，

∵∠MON=60°，

∴∠ACO=180°-∠OAC-∠MON=90°，

∴∠ACO=3∠OAC，

∴△AOC為“培圣三角形”，

（3）設∠OAC=x,則∠BAC=90°-x,∠ACB=60+x,∠ABC=30°，

∵△ABC為“培圣三角形”，

∴①當∠ABC=3∠BAC時，∴30°=3（90°-x）解得x=80°；

②當∠ABC=3∠ACB時，∴30°=3（60°+x）解得x=-50°，故舍去；

③當∠BCA=3∠BAC時，∴60°+x=3（90°-x）解得x=52.5°；

④當∠BCA=3∠ABC時，∴60°+x=90°解得x=30°；

⑤當∠BAC=3∠ABC時，∴90°-x =90°解得x=0°，故舍去；

⑥當∠BAC=3∠ACB時，∴90°-x =3（60°+x）解得x=-22.5°，故舍去；

綜上：∠OAC的度數為80°或52.5°或30°.