Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，P在BA的延長線上，C為圓上一點，且∠PCA＝∠B．

（1）求證：PC與⊙O相切；

（2）若PA＝4，⊙O的半徑為6，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用圓周角定理得∠2+∠3＝90°，再證明∠1＝∠3，則∠1+∠2＝90°，然后根據切線的判定定理可得到PC與⊙O相切；

（2）先利用勾股定理得到PC＝8，再證明△PAC∽△PCB，利用相似比得＝，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理得到BC2+BC2＝122，從而解BC的方程即可．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，即∠2+∠3＝90°，

∵∠1＝∠B，∠3＝∠B，

∴∠1＝∠3，

∴∠1+∠2＝90°，即∠PCO＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC與⊙O相切；

（2）解：在Rt△POC中，PC＝＝＝8，

∵∠CPA＝∠BPC，∠1＝∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴＝＝＝，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，

∴BC2+BC2＝122，

∴BC＝．