Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，該拋物線與x軸的兩個交點分別為A和B，與y軸的交點為C，其中A（-1，0）.

（1）寫出B點的坐標 ；

（2）求拋物線的函數解析式；

（3）若拋物線上存在一點P，使得△POC的面積是△BOC的面積的2倍，求點P的坐標；

（4）點M是線段BC上一點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點D，求線段MD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0）；（2）y＝x22x3；（3）P（6，21）或（6，45）；（4）.

【解析】

（1）函數的對稱軸為：x＝1，點A（1，0），則點B（3，0）；

（2）用兩點式求解即可；

（3）△POC的面積是△BOC的面積的2倍，則|xP|＝2OB＝6，即可求解；

（4）易得直線BC的表達式，設出點M（x，x3），則可得MD＝x3（x22x3）＝x2＋3x，然后求二次函數的最值即可．

解：（1）函數的對稱軸為：x＝1，點A（1，0），則點B（3，0），

故答案為（3，0）；

（2）函數的表達式為：y＝（x＋1）（x3）＝x22x3；

（3）△POC的面積是△BOC的面積的2倍，則|xP|＝2OB＝6，

當x＝6時，y＝36123＝21，

當x＝6時，y＝36＋123＝45，

故點P（6，21）或（6，45）；

（4）∵B（3，0），C（0，-3），

易得直線BC的表達式為：y＝x3，

設點M（x，x3），則點D（x，x22x3），

∴MD＝x3（x22x3）＝x2＋3x，

∵1＜0，

∴MD有最大值，

∴當x＝時，其最大值為：．