Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A，B的橫坐標分別為a、a+2，二次函數y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的圖象經過點A，B，且a、m滿足2a﹣m=d（d為常數）．
（1）若一次函數y1=kx+b的圖象經過A、B兩點．
①當a=1、d=﹣1時，求k的值；
②若y1隨x的增大而減小，求d的取值范圍；
（2）當d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時，判斷直線AB與x軸的位置關系，并說明理由；
（3）點A，B的位置隨著a的變化而變化，設點A，B運動的路線與y軸分別相交于點C，D，線段CD的長度會發生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當a=1、d=﹣1時，m=2a﹣d=3，

所以二次函數的表達式是y=﹣x2+x+6．

∵a=1，

∴點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為3，

把x=1代入拋物線的解析式得：y=6，把x=3代入拋物線的解析式得：y=0，

∴A（1，6），B（3，0）．

將點A和點B的坐標代入直線的解析式得： ，解得： ，

所以k的值為﹣3．

②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），

∴當x=a時，y=﹣（a﹣m）（a+2）；當x=a+2時，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），

∵y1隨著x的增大而減小，且a＜a+2，

∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，

又∵2a﹣m=d，

∴d的取值范圍為d＞﹣4．

（2）解：∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，

∴m=2a+4．

∴二次函數的關系式為y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．

把x=a代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵點A、點B的縱坐標相同，

∴AB∥x軸．

（3）解：線段CD的長度不變．

∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m過點A、點B，2a﹣m=d，

∴y=﹣x2+（2a﹣d﹣2）x+2（2a﹣d）．

∴yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8．

∵把a=0代入yA=﹣a2+（2﹣d）a﹣2d，得：y=﹣2d，

∴C（0，﹣2d）．

∵點D在y軸上，即a+2=0，

∴a=﹣2，．

把a=﹣2代入yB=a2+（2﹣d）a﹣4d﹣8得：y=﹣2d﹣8．

∴D（0，﹣2d﹣8）．

∴DC=|﹣2d﹣（﹣2d﹣8）|=8．

∴線段CD的長度不變．

【解析】（1）當a=1、d=﹣1時，m=2a﹣d=3，代入拋物線解析式算出A、B坐標，再代入直線解析式即可；（2）由A、B在拋物線上，得出A、B的含參數a 坐標，縱坐標相同，可判斷與x軸平行；（3）分別用a 代數式表示C、D坐標，縱坐標的差是常數8，說明不變.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數關系式和確定一次函數的表達式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式；確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法．