Question

【題目】△OPA和△OQB分別是以OP、OQ為直角邊的等腰直角三角形，點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點．

（1）當∠AOB=90°時如圖1，連接PE、QE，直接寫出EP與EQ的大小關系；
（2）將△OQB繞點O逆時針方向旋轉，當∠AOB是銳角時如圖2，（1）中的結論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請加以說明．
（3）仍將△OQB繞點O旋轉，當∠AOB為鈍角時，延長PC、QD交于點G，使△ABG為等邊三角形如圖3，求∠AOB的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，延長PE，QB交于點F，

∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，

∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，

∴點P，O，Q在同一條直線上，

∵∠APO=∠BQO=90°，

∴AP∥BQ，

∴∠PAE=∠FBE，

∵點E是AB中點，

∴AE=BE，

∵∠AEP=∠BEF，

∴△APE≌△BFE，

∴PE=EF，

∴點E是Rt△PQF的斜邊PF的中點，

∴EP=EQ；

（2）

解：成立，

證明：∵點C，E分別是OA，AB的中點，

∴CE∥OB，CE= OB，

∴∠DOC=∠ECA，

∵點D是Rt△OQB斜邊中點，

∴DQ= OB，

∴CE=DQ，

同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，

∴∠ECA=∠BDE，

∵∠PCE=∠EDQ，

∴△EPC≌△QED，

∴EP=EQ；

（3）

解：如圖2，連接GO，

∵點D，C分別是OB，OA的中點，△APO與△QBO都是等腰直角三角形，

∴CQ，GP分別是OB，OA的垂直平分線，

∴GB=GO=GA，

∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，

設∠GOB=x，∠GOA=y，

∴x+x+y+y+60°=360°

∴x+y=150°，

∴∠AOB=150°．

【解析】（1）先判斷出點P，O，Q在同一條直線上，再判斷出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結論；（2）先判斷出CE=DQ，PC=DE，進而判斷出△EPC≌△QED即可得出結論；（3）先判斷出CQ，GP分別是OB，OA的垂直平分線，進而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出結論．