Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+ x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C，點A的坐標為（4，0），拋物線的對稱軸是直線x= ．

（1）求拋物線的解析式；
（2）M為第一象限內的拋物線上的一個點，過點M作MG⊥x軸于點G，交AC于點H，當線段CM=CH時，求點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，將線段MG繞點G順時針旋轉一個角α（0°＜α＜90°），在旋轉過程中，設線段MG與拋物線交于點N，在線段GA上是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x=﹣ = ，b= ，

∴a=﹣ ，

把A（4，0），a=﹣ 代入y=ax2+ x+c，

可得（ ）×42+ ×4+c=0，

解得c=2，

則拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如圖1，連接CM，過C點作CE⊥MH于點E，

，

∵y=﹣ x2+ x+2，

∴當x=0時，y=2，

∴C點的坐標是（0，2），

設直線AC解析式為y=kx+b（k≠0），

把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，

可得 ，

解得： ，

∴直線AC解析式為y=﹣ x+2，

∵點M在拋物線上，點H在AC上，MG⊥x軸，

∴設點M的坐標為（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），

∴MH=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+2m，

∵CM=CH，OC=GE=2，

∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣ m+2）]=m，

又∵MH=﹣ m2+2m，

∴﹣ m2+2m=m，

即m（m﹣2）=0，

解得m=2或m=0（不符合題意，舍去），

∴m=2，

當m=2時，

y=﹣ ×22+ ×2+2=3，

∴點M的坐標為（2，3）

（3）

解：存在點P，使以P，N，G為頂點的三角形與△ABC相似，理由為：

∵拋物線與x軸交于A、B兩點，A（4，0），A、B兩點關于直線x= 成軸對稱，

∴B（﹣1，0），

∵AC= =2 ，BC= = ，AB=5，

∴AC2+BC2= + =25，AB2=52=25，

∵AC2+BC2=AB2=25，

∴△ABC為直角三角形，

∴∠ACB=90°，

線段MG繞G點旋轉過程中，與拋物線交于點N，當NP⊥x軸時，∠NPG=90°，

設P點坐標為（n，0），

則N點坐標為（n，﹣ n2+ n+2），

①如圖2，

當 = 時，

∵∠N1P1G=∠ACB=90°，

∴△N1P1G∽△ACB，

∴ = ，

解得：n1=3，n2=﹣4（不符合題意，舍去），

∴P的坐標為（3，0）．

②當 = 時，

∵∠N2P2G=∠BCA=90°，

∴△N2P2G∽△BCA，

∴ ，

解得：n1=1 ，n2=1﹣ （不符合題意，舍去），

∴P的坐標為（1+ ，0）．

∴存在點P（3，0）或（1 ，0），使以P，N，G為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）首先利用對稱軸公式求出a的值，然后把點A的坐標與a的值代入拋物線的解析式，求出c的值，即可確定出拋物線的解析式．（2）首先根據拋物線的解析式確定出點C的坐標，再根據待定系數法，確定出直線AC解析式為y=﹣ x+2；然后設點M的坐標為（m，﹣ m2+ m+2），H（m，﹣ m+2），求出MH的值是多少，再根據CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，據此求出m的值是多少，再把m的值代入拋物線的解析式，求出y的值，即可確定點M的坐標．（3）首先判斷出△ABC為直角三角形，然后分兩種情況：①當 = 時；②當 = 時；根據相似三角形的性質，判斷出是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似即可．