Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是△ABD的內切圓的圓心，過P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點E、F，則四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比等于（　　）

A.1：2B.2：3C.3：4D.無法確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

延長EP交AD于M，延長FP交AB于N，設AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半徑為r，利用平行線的性質得到PM⊥AD，PN⊥AB，再根據切線長定理得到PM＝PN＝r，根據直角三角形的內切圓半徑的計算方法得到r＝，所以PEPF＝

，利用完全平方公式和平方差公式得到PEPF＝ab，然后計算四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比．

解：延長EP交AD于M，延長FP交AB于N，如圖，設AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半徑為r，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PM⊥AD，PN⊥AB，

∵點P是△ABD的內切圓的圓心

∴PM＝PN＝r，

∴r＝，

∴PF＝a﹣＝，PE＝b﹣＝，

∴PEPF＝

＝＝，

而a2+b2＝c2，

∴PEPF＝＝ab，

∴四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比＝ab：ab＝1：2．

故選：A．