Question

【題目】已知∠AOB＝60°，P為它的內部一點，M為射線OA上一點，連接PM，以P為中心，將線段PM順時針旋轉120°，得到線段PN，并且點N恰好落在射線OB上．

（1）依題意補全圖1；

（2）證明：點P一定落在∠AOB的平分線上；

（3）連接OP，如果OP＝2，判斷OM+ON的值是否變化，若發生變化，請求出值的變化范圍，若不變，請求出值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）OM+ON＝6，值不變．

【解析】

（1）根據要求畫出圖形即可；

（2）作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．證明△PEM≌△PFN（AAS），推出PE＝PF，理由角平分線的判定定理即可解決問題；

（3）理由全等三角形的性質證明OE＝OF，FN＝EM，求出OE，OF即可解決問題．

解：（1）圖形如圖所示：

（2）作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∠EOF＝60°，

∴∠EPF＝∠MPN＝120°，

∴∠EPM＝∠FPN，

∵PM＝PN，∠PEM＝∠PFN＝90°，

∴△PEM≌△PFN（AAS），

∴PE＝PF，

∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴OP平分∠AB，

∴點P在∠AOB的角平分線上．

（3）結論：OM+ON＝6，值不變．

理由：∵∠PEO＝∠PFO＝90°，OP＝OP，PE＝PF，

∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL），

∴OE＝OF，

∵OP＝，∠POE＝∠POF＝30°，

∴OE＝OF＝OPcos30°＝3，

∵△PEM≌△PFN，

∴ME＝FN，

∴OM+ON＝OE﹣EM+OF+FN＝2OE＝6．