Question

【題目】探究題
（1）探究發現：
下面是一道例題及其解答過程，請補充完整：
如圖①在等邊△ABC內部，有一點P，若∠APB=150°．求證：AP2+BP2=CP2

證明：將△APC繞A點逆時針旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形
∴∠APP′=60° PA=PP′PC=
∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°
∴P′P2+BP2=
即PA2+PB2=PC2
（2）類比延伸：
如圖②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，內部有一點P，若∠APB=135°，試判斷線段PA、PB、PC之間的數量關系，并證明．

（3）聯想拓展：
如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）2+PB2=PC2 ， 請直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】
（1）P′B；P′B2
（2）

解：關系式為：2PA2+PB2=PC2

證明如圖②：將△APC繞A點逆時針旋轉90°，得到△AP′B，連接PP′，

則△APP′為等腰直角三角形

∴∠APP′=45°PP′= PA，PC=P′B，

∵∠APB=135°

∴∠BPP′=90°

∴P′P2+BP2=P′B2，

∴2PA2+PB2=PC2

（3）

解：k= ．

證明：如圖③

將△APC 繞A點順時針旋轉120°得到△AP′B，連接PP′，過點A作AH⊥PP′，

可得∠APP′=30°PP′= PA，PC=P′B，

∵∠APB=60°，

∴∠BPP′=90°，

∴P′P2+BP2=P′B2，

∴（ PA）2+PB2=PC2

∵（kPA）2+PB2=PC2，

∴k= ．

【解析】解：（1）PC=P′B
P′P2+BP2=P′B2 ．
【考點精析】本題主要考查了圖形的旋轉的相關知識點，需要掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素才能正確解答此題．