Question

【題目】如圖，已知點A（0，2）、B（2 ，2）、C（0，4），過點C向右做平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在左側作等邊△APQ，連接PB、BA．
（1）當AB∥PQ時，點P的橫坐標是；
（2）當BP∥QA時，點P的橫坐標是 ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）0或2
【解析】解：（1）如圖1：當AB為梯形的底時，PQ∥AB， ∴Q在CP上，
∵△APQ是等邊三角形，CP∥x軸，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=ACtan30°=2× = ，
∴當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是： ；
⑵如圖2，當AB為梯形的腰時，AQ∥BP，
∴Q在y軸上，
∴BP∥y軸，
∵CP∥x軸，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，
∴CP=AB=2 ，
如圖3，當C與P重合時，
∵A（0，2）、B（2 ，2），
∴tan∠APB= = ，
∴∠APB=60°，
∵△APQ是等邊三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴當C與P重合時，四邊形ABPQ以AB為腰的梯形，
此時點P的橫坐標為0；
∴當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是：0或2 ．
所以答案是：（1） ；（2）0或2 ．

【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．