Question

【題目】已知關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個實數根x1 ， x2 ．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若x1 ， x2滿足x12+x22=16+x1x2 ， 求實數k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個實數根x1，x2，

∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，

解得：k≤ ，

∴實數k的取值范圍為k≤

（2）解：∵關于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個實數根x1，x2，

∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．

∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，

∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，

解得：k=﹣2或k=6（不符合題意，舍去）．

∴實數k的值為﹣2

【解析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出實數k的取值范圍；（2）由根與系數的關系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，將其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
【考點精析】掌握求根公式和根與系數的關系是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．