Question

【題目】規(guī)定：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．現有下列結論： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，則a=±3；
③若關于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，則拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的公共點的坐標是（2，0）和（4，0）；
④若點（m，n）在反比例函數y= 的圖象上，則關于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述結論中正確的有（ ）
A.①②
B.③④
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0，
解得x1=4，x2=﹣2，
∵x1≠2x2 ， 或x2≠2x1 ，
∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程．
故①錯誤；②關于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，
∴設x2=2x1 ，
∴x1x2=2x12=2，
∴x1=±1，
當x1=1時，x2=2，
當x1=﹣1時，x2=﹣2，
∴x1+x2=﹣a=±3，
∴a=±3，故②正確；③關于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，
∴x2=2x1 ，
∵拋物線y=ax2﹣6ax+c的對稱軸是直線x=3，
∴拋物線y=ax2﹣6ax+c與x軸的交點的坐標是（2，0）和（4，0），
故③正確；④∵點（m，n）在反比例函數y= 的圖象上，
∴mn=4，
解mx2+5x+n=0得x1=﹣ ，x2=﹣ ，
∴x2=4x1 ，
∴關于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程；
故選C．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和根與系數的關系的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．