Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P、Q同時從點A出發，運動時間為t秒．其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位長度，點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位長度．以點Q為圓心，PQ長為半徑作⊙Q．

（1）求證：直線AB是⊙Q的切線；
（2）過點A左側x軸上的任意一點C（m，0），作直線AB的垂線CM，垂足為M．若CM與⊙Q相切于點D，求m與t的函數關系式（不需寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，是否存在點C，直線AB、CM、y軸與⊙Q同時相切？若存在，請直接寫出此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，連接QP．

在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，

∴AB= =5，

∵AP=4t，AQ=5t，

∴ = = ，∵∠PAQ=∠BAO，

∴△PAQ∽△BAO，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∴QP⊥AB，

∴AB是⊙O的切線

（2）

解：①如圖2中，當直線CM在⊙O的左側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．

易知PQ=DQ=3t，CQ= 3t= ，

∵OC+CQ+AQ=4，

∴m+ t+5t=4，

∴m=4﹣ t．

②如圖3中，當直線CM在⊙O的右側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．

∵OC+AQ﹣CQ=4，

∴m+5t﹣ t=4，

∴m=4﹣ t

（3）

解：存在．理由如下：

如圖4中，當⊙Q在y則的右側與y軸相切時，3t+5t=4，t= ，

由（2）可知，m=﹣ 或 ．

如圖5中，當⊙Q在y則的左側與y軸相切時，5t﹣3t=4，t=2，

由（2）可知，m=﹣ 或 ．

綜上所述，滿足條件的點C的坐標為（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）只要證明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠OB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切線；（2）分兩種情形求解即可：①如圖2中，當直線CM在⊙O的左側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．②如圖3中，當直線CM在⊙O的右側與⊙Q相切時，設切點為D，則四邊形PQDM是正方形．分別列出方程即可解決問題．（3）分兩種情形討論即可，一共有四個點滿足條件．
【考點精析】關于本題考查的直線與圓的三種位置關系和切線的性質定理，需要了解直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．