Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點P旋轉，得到△PDE，點D落在線段PQ上．

（1）求證：PQ∥AB
（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長。
（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，

∴AC==12．

∵==，==，

∴=．

∵∠C=∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ=∠B，

∴PQ∥AB

（2）

解：連接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ=∠DAB．

∵點D在∠BAC的平分線上，

∴∠DAQ=∠DAB，

∴∠ADQ=∠DAQ，

∴AQ=DQ．

在Rt△CPQ中，PQ=5x，

∵PD=PC=3x，

∴DQ=2x．

∵AQ=12﹣4x，

∴12﹣4x=2x，解得x=2，

∴CP=3x=6．

（3）

解：當點E在AB上時，

∵PQ∥AB，

∴∠DPE=∠PEB．

∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，

∴∠B=∠PEB，

∴PB=PE=5x，

∴3x+5x=9，解得x=．

①當0＜x≤時，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此時0＜T≤；

②當＜x＜3時，設PE交AB于點G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足為H，

∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，

∴==．

∵PG=PB=9﹣3x，

∴==，

∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），

∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），

∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]

=x+，

此時，＜T＜18．

∴當0＜x＜3時，T隨x的增大而增大，

∴T=12時，即12x=12，解得x=1；

TA=16時，即x+=16，解得x=．

∵12≤T≤16，

∴x的取值范圍是1≤x≤．

【解析】（1）先根據勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性質得出∠CPQ=∠B，由此可得出結論；
（2）連接AD，根據PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由點D在∠BAC的平分線上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根據勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，進而得出結論；
（3）當點E在AB上時，根據等腰三角形的性質求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3兩種情況進行分類討論．
此題考查了幾何圖形的折疊問題，涉及的幾何知識有勾股定理，相似三角形的判定定理和等腰三角形的性質等。