Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE為⊙O的切線．

（1）求證：DE⊥BC；
（2）如果DE=2，tanC= ，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連結OD，如圖，

∵D為AC的中點，O為AB的中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥BC，

∵DE為⊙O的切線，

∴DE⊥OD，

∴DE⊥BC

（2）

解：連結BD，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDE+∠CDE=90°，

而∠CDE+∠C=90°，

∴∠C=∠BDE，

在Rt△CDE中，∵tanC= = ，

∴CE=2DE=4，

在Rt△BDE中，∵tan∠BDE= = ，

∴BE= DE=1，

∴BC=BE+CE=5，

∵OD為△ABC的中位線，

∴OD= BC，

∴AB=BC=5，

即⊙O的直徑為5．

【解析】（1）證明：連結OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線得到OD∥BC，再根據切線的性質得到DE⊥OD，然后根據平行線的性質可判斷DE⊥BC；（2）連結BD，如圖，先根據圓周角定理得到∠ADB=90°，再利用等角的余角相等得到∠C=∠BDE，接著根據正切的定義在Rt△CDE中計算出CE=2DE=4，在Rt△BDE中計算出BE= DE=1，則BC=5，然后利用OD為△ABC的中位線可求出OD，從而得到圓的直徑．
【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．