Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E為AB中點，點F在CB的延長線上，且EF∥BD．
（1）求證；四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當線段AD和BD之間滿足什么條件時，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點O是AC的中點．

又∵點E是邊AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥BC，

又∵點F在CB的延長線上，

∴OE∥BF．

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四邊形OBFE是平行四邊形

（2）當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形．

理由：由（1）可知四邊形OBFE是平行四邊形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點F在BC的延長線上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF=90°，

∴四邊形OBFE是矩形．

【解析】（1）首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，推薦可提出四邊形OBFE是平行四邊形．（2）當AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形． 只要證明∠EOB=90°即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．