Question

【題目】如圖，拋物線過，兩點．

備用圖

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一點，且位于第一象限，當的面積為3時，求出點P的坐標；

（3）過B作于C，連接OB，點G是拋物線上一點，當時，請直接寫出此時點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線表達式為：；（2）點P坐標為，，（3）點G坐標為，．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線表達式.

（2）設P點橫坐標為m，當1＜m＜4時，過點P作PM∥y軸，交AB于點M，連接BP、AP，通過三角形的面積先求出PM的長，然后利用m表示PM的長，即可求出m，從而得到P點坐標；當0＜m＜1時，如圖，過點P作PN∥x軸，交AB于點N，連接BP、AP，先通過三角形面積求出PN的長，可用m表示N點的橫坐標，令P和N的縱坐標相等即可求出m，從而求出P點的坐標.綜上即可得到答案.

（3）通過已知條件，得到∠BAO為45°，然后分點G在AB上方和下方兩種情況討論即可.

解：（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx

得

解得

∴拋物線表達式為：y=-x2+4x；

（2）設P點橫坐標為m，

當1＜m＜4時，如圖，過點P作PM∥y軸，交AB于點M，連接BP、AP，

由于A（4，0），B（1，3）

∴，

∴PM=2，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

將A（4，0），B（1，3）代入y=kx+b，

，

解得，

∴直線AB的解析式為y=-x+4，

設，，

則PM=，

∴，

解得，m=2或m=3，

∴P點坐標為或

當0＜m＜1時，如圖，過點P作PN∥x軸，交AB于點N，連接BP、AP，

∴，

∴PN=2，

設，

則N點橫坐標為m+2，∴，

由于PN兩點縱坐標相同，

∴，

解得，（舍去），

∴P點坐標為，

綜上所述，點P坐標為，，.

（3）如下圖，過點A作AE⊥x軸，過點G作GE⊥y軸，交AE于點E，

易得∠BAC=45°，

若，

則∠OBC=∠GAE，

∴△BOC∽△AGE，即AE=3GE，

設，則

解得，n=3或n=4（舍去）

∴G，

如下圖，連接AG交BC于點F，

若，

則∠OBC=∠GAO，

易得，△OBC≌△FAC，

∴F（1,1）

可得直線AF的解析式為

聯立解析式

解得，x=4（舍去）或x= ，

∴G，

綜上所述，G，G.