Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，點與點關于軸對稱，過點作軸的垂線，直線與直線交于點.

（1）求點的坐標；

（2）如果拋物線與線段有唯一公共點，

①求拋物線的對稱軸，

②求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）(3,3);（2）①見解析；②見解析.

【解析】

（1）根據題意分別求出點A、B、C的坐標；
（2）①將拋物線化成頂點式，即可得拋物線的對稱軸，頂點的坐標；

②分類討論當n＞3時；當n=3時；當0＜n＜3時，拋物線y=nx2-4nx+5n（n＞0）與線段BC有唯一公共點，求n的取值范圍．

解：（1）∵直線與軸交于點.

∴點關于軸的對稱點為，為直線.

∵直線與直線交于點，

∴點的坐標為；

（2）①∵拋物線，

∴.

∴拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線.

②∵點，點，

當時，拋物線最小值為，與線段無公共點；

當時，拋物線頂點為，在線段上.

此時拋物線與線段有一個公共點;

當時，拋物線最小值為，與直線有兩個交點.

如果拋物線經過點，則，解得.

由拋物線的對稱軸為直線，可知拋物線經過點.

點不在線段上，此時拋物線與線段有一個公共點.

如果拋物線經過點，則，解得.

由拋物線的對稱軸為直線，可知拋物線經過點.

點在線段上，此時拋物線與線段有兩個公共點.

綜上所述，當或時，拋物線與線段有一個公共點.