Question

已知關于x的一元二次方程m²x²+2（m-1）x+1=0有實數根．
（1）求實數m的范圍；
（2）由（1），該方程的兩根能否互為相反數？請證明你的結論．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系

專題：

分析：（1）根據一元二次方程的定義及根的判別式的意義得到m²≠0，且△≥0，即[2（m-1）]²-4m²≥0，解不等式組即可得到m≤

1

2

且m≠0；
（2）由根與系數的關系求出方程的兩根互為相反數時m的值，如果m的值在（1）中所求實數m的范圍內，那么該方程的兩根能夠互為相反數；否則不能互為相反數．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程m²x²+2（m-1）x+1=0有實數根，
∴m²≠0，且△≥0，即[2（m-1）]²-4m²≥0，4m²-8m+4-4m²≥0，
∴m≤

1

2

且m≠0；

（2）如果方程的兩根互為相反數，那么-

2(m-1)

m2

=0，
解得m=1，
∵m≤

1

2

且m≠0時，方程有實數根，而1＞

1

2

，
∴該方程的兩根不能互為相反數．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義及根與系數的關系．