Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，過(guò)D作DF//AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AE、GC交于點(diǎn)H，點(diǎn)P是線段DG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)D、點(diǎn)G重合），連接CP，將△CPG沿CP翻折得到，連接. 若CH=1，則長(zhǎng)度的最小值為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作DM⊥AE于M，首先證明四邊形DMHG是正方形，求出正方形DMHG的邊長(zhǎng)，以及AC的長(zhǎng)，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段DG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G′在以C為圓心，CG為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)A、G′、C共線時(shí)，AG′最小．由此即可解決問(wèn)題．

解：如圖，作DM⊥AE于M．設(shè)CG=x，

∵AH∥DF，GH⊥DF，
∴∠MHG=∠HGD=∠DMH=90°，
∴四邊形DMHG是矩形，
∵∠ADC=∠MDG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
在△ADM和△CDG中，

,

∴△ADM≌△CDG（AAS），
∴DM=DG，
∴四邊形DMHG是正方形，

∴GH=DG，
∵CH=1，CG=x，
∴DG=CG+HC=x+1，

在Rt△DCG中，，

∴x=3，x=-4(舍去)，

∴CG′=CG=3，

在Rt△ADC中，AC= ，

∵點(diǎn)P在線段DG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G′在以C為圓心，CG為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)A、G′、C共線時(shí)，AG′最小，
∴AG′的最小值為AC-CG′= .

故答案為：.