Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC，交AC于點E，AC的反向延長線交⊙O于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）若DE+EA=4，⊙O的半徑為5，求CF的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）CF=18．

【解析】

（1）根據已知條件得到OD∥AC即可，于是得到結論；

（2）如圖，過點O作OH⊥AF于點H，構建矩形ODEH，設AH＝x．則由矩形的性質推知：AE＝5x，OH＝DE＝4（5x）＝x1．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2＋（x1）2＝52，通過解方程得到AH的長度，結合OH⊥AF，得到AF＝2AH＝2×4＝8，于是得到結論．

（1）∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，OD是半徑，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）過點O作OH⊥AF于點H，則∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，

∴四邊形ODEH是矩形，

∴OD=EH，OH=DE．

設AH=x．

∵DE+AE=4，OD=5，

∴AE=5﹣x，OH=DE=4﹣（5﹣x）=x﹣1．

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣1）2=52，

解得x1=4，x2=﹣3（不合題意，舍去）．

∴AH=4．

∵OH⊥AF，

∴AH=FH=AF，

∴AF=2AH=2×4=8，

∵AC=AB=2OD=10，

∴CF=18．