Question

【題目】閱讀下面材料：

麗麗這學期學習了軸對稱的知識，知道了像角、等腰三角形、正方形、圓等圖形都是軸對稱圖形.類比這一特性，麗麗發現像m+n，mnp，等代數式，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變.太神奇了！于是她把這樣的式子命名為神奇對稱式.

她還發現像，(m-1)(n-1)等神奇對稱式都可以用表示.例如：.于是麗麗把稱為基本神奇對稱式 .

請根據以上材料解決下列問題：

（1）代數式① ， ② ， ③， ④ xy + yz + zx中，屬于神奇對稱式的是__________（填序號）；

（2）已知.

① q=__________（用含m，n的代數式表示）；

② 若，則神奇對稱式=__________；

③ 若 ，求神奇對稱式的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①，④;（2）① q=mn.②;③-2.

【解析】

（1）根據題意新定義的神奇對稱式任意交換兩個字母的位置，式子的值不變來判斷

（2）①由所學知識十字相乘法表示對應系數相等可求出

②把 通分用mn與m+n的形式表示，然后轉換成用p、q表示的代數式代入即可求出值

③把神奇對稱式轉換成用p、q表示的代數式，再根據求根公式求出范圍

解：（1）①，④符合神奇對稱式的定義，②③交換字母的位置，式子的值會變故不符合神奇對稱式的定義。所以答案應為①，④

（2）①∵，

∴.

故答案應為：q = mn .

② == = - 故答案應為-

③∵，

∴.

=

=

=.

∵，

∴.

即q=±p.

（i）當時，

∴原式==.

（ii）當時，

∴原式==.

綜上，的最小值為-2.