Question

4．已知反比例函數${y_1}=\frac{k}{x}$的圖象與一次函數y₂=2x+b  的圖象交于點A（1，4）和點B（m，-2）．
（1）求k，b及m的值；
（2）觀察圖象，直接寫出y₁＞y₂時自變量x的取值范圍；
（3）若點C（4，n）在反比例函數的圖象上，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由點A的坐標利用待定系數法即可求出k、b的值，再由點B的縱坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出m值；
（2）根據兩函數圖象的上下位置關系即可找出y₁＞y₂時自變量x的取值范圍；
（3）由點C的橫坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出點C的坐標，過點C作CD∥x軸，交直線AB于點D，根據點D的縱坐標利用一次函數圖象上點的坐標特即可求出點D的坐標，根據S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵點A（1，4）在${y_1}=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，
∴k=4；
∵點A（1，4）在y₂=2x+b的圖象上，
∴4=2×1+b，
∴b=2；
∵點B（m，-2）在${y_1}=\frac{4}{x}$的圖象上，
∴m=$\frac{4}{-2}$=-2．
（2）觀察函數圖象可知：當 0＜x＜1或x＜-2時，反比例函數圖象在一次函數圖象上方，
∴當 0＜x＜1或x＜-2時，y₁＞y₂成立．
（3）在${y_1}=\frac{4}{x}$中令x=4可得y=1，
∴點C（4，1）．
過點C作CD∥x軸，交直線AB于點D，如圖所示．
在y₂=2x+2中令y=1得x=-$\frac{1}{2}$，
∴D（-$\frac{1}{2}$，1），
∴DC=4-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$．
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×5=18．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點的問題、一次（反比例）函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求一次（反比例）函數解析式，解題的關鍵是：（1）由點A的坐標利用待定系數法求出一次（反比例）函數解析式；（2）根據兩函數圖象的上下位置關系解不等式；（3）將△ABC分割成△ADC和△BDC．