Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB=1，BC= ，點E在邊CD上移動，連接AE，將多邊形ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形AB′C′E，點B、C的對應點分別為點B′、C′．

（1）當B′C′恰好經過點D時（如圖1），求線段CE的長；
（2）若B′C′分別交邊AD，CD于點F，G，且∠DAE=22.5°（如圖2），求△DFG的面積；
（3）在點E從點C移動到點D的過程中，求點C′運動的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，設CE=EC′=x，則DE=1﹣x，

∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，

∴∠B′AD=∠EDC′，

∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD= ，

∴DB′= = ，

∴△ADB′′∽△DEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴x= ﹣2．

∴CE= ﹣2．

（2）

解：如圖2中，

∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，

∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，

∴∠B′AF=∠B′FA=45°，

∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，

∴DF=FG，

在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，

∴AF= AB′= ，

∴DF=DG= ﹣ ，

∴S△DFG= （ ﹣ ）2= ﹣

（3）

解：如圖3中，點C的運動路徑的長為 的長，

在Rt△ADC中，∵tan∠DAC= = ，

∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，

∵∠C′AD=∠DAC=30°，

∴∠CAC′=60°，

∴ 的長= = π．

【解析】（1）如圖1中，設CE=EC′=x，則DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得 = ，列出方程即可解決問題；（2）如圖2中，首先證明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解決問題；（3）如圖3中，點C的運動路徑的長為 的長，求出圓心角、半徑即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和圓心角、弧、弦的關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．