Question

如圖，點P是反比例函數圖象上的點，PA垂直x軸于點A（－1，0），點C的坐標為（1，0），PC交y軸于點B，連結AB，已知AB=。

（1）k的值是　 　；
（2）若M（a，b）是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MBA＜∠ABC，則a的取值范圍是　 　。

Answer 1

（1）；（2）0＜a＜2或。

（1）依題意，AO=1，OC=1，∴AB是Rt△PAC斜邊上的中線。
∵AB=，∴PC=。
∴在Rt△PAC中，AC=2，AP=，PC=，
∴根據勾股定理，得：，解得。
∵，∴。
（2）分兩種情況：
①當點M在x軸下方時，考慮∠MBA＝∠ABC的情況：當∠MBA＝∠ABC時，點M是PC與雙曲線的另一個交點，由B（0,2）,C（1,0）易得直線PC的解析式為，與聯立：
，解得：或（點P坐標，舍去），
∴當∠MBA＝∠ABC時，點M的坐標為（2，－2）。
∴當∠MBA＜∠ABC時，0＜a＜2。
②當點M在x軸上方時，考慮∠MBA＝∠ABC的情況：如圖，將△ABC順時針旋轉至
△EBA，延長BE交于點，則之間橫坐標的值即為所求。過點E分別作ｘ軸和ｙ軸的垂線，垂足分別為點F，G，設點E的坐標為（ｘ，ｙ），

由旋轉的性質，得AE=AC=2，BE=BA=。
在Rt△AEF中，由勾股定理，得，即①，
在Rt△BEG中，由勾股定理，得，即②，
①-②，得，即③，
將③代入②，得，解得或（舍去），
將代入③得。
∴點E的坐標為。
設直線BE的解析式為，則。
∴直線BE的解析式為。
聯立。
∴。
綜上所述，a的取值范圍是0＜a＜2或。