Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是邊BC上的點，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于點F．

（1）求證：△ABE∽△DAF；

（2）當ACFC＝AEEC時，求證：AD＝BE．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）想辦法證明∠B＝∠DAF，∠BAE＝∠ADF即可解決問題．

（2）只要證明四邊形ADEB是平行四邊形即可解決問題．

（1）∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠DAF＝∠B，

∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，

∴∠DEC＝∠BAE，

∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ADF，

∴∠BAE＝∠ADF，

∴△ABE∽△DAF．

（2）∵ACFC＝AEEC，AC＝AB，

∴ABFC＝AEEC，

∴，

∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，

∴△BAE∽△CEF，

∴，

∴，

∴FC＝EF，

∴∠FEC＝∠FCE，

∵∠FCE＝∠B，

∴∠B＝∠FEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BE，

∴四邊形ADEB是平行四邊形，

∴AD＝BE．