Question

【題目】如圖，點在以線段為直徑的圓上，且，點在上，且于點，是線段的中點，連接、.

（1）若，，求的長；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）5 ； （2）見解析

【解析】

（1）利用圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系得到∠ACB=90°，且AC=BC，則∠A=45°，再證明△ADE為等腰直角三角形，所以AE=DE=6，接著利用勾股定理計算出BC，然后根據直角三角形斜邊上的中線性質得到EF的長；

（2）如圖，連接CF，利用圓周角定理得到∠BED=∠AED=∠ACB=90°，再根據直角三角形斜邊上的中線性質得CF=EF=FB=FD，利用圓的定義可判斷B、C、D、E在以BD為直徑的圓上，根據圓周角定理得到∠EFC=2∠EBC=90°，然后利用△EFC為等腰直角三角形得到．

解：（1）∵點在以線段為直徑的圓上，且

∴，且

∵，，，

∴，

在中，

∵，，

∴，

又∵是線段的中點，

∴；

（2）如圖，連接，

線段與之間的數量關系是；

∵，

∵點是的中點，

∴，

∵，，

∴，

同理，

∴，

即，

∴；