Question

5．如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}$BC，連接OE．下列結論：
①OB=AB； ②OE=$\frac{1}{4}$BC；③S_?ABCD=AB•AC； ④∠CAD=30°．
其中正確結論的個數是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由?ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等邊三角形，又由AB=$\frac{1}{2}$BC，證得∠CAD=30°；繼而證得AC⊥AB，得②S_?ABCD=AB•AC；可得OE是三角形的中位線，證得OE=$\frac{1}{4}$BC；即可得出結論．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故④正確；
∵AC⊥AB，
∴S_?ABCD=AB•AC，故③正確，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故①錯誤；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，∵OA=OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC．故②正確．
故選：C．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線的性質以及等邊三角形的判定與性質．注意證得△ABE是等邊三角形，OE是△ABC的中位線是關鍵．