Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x-3，與x軸交于點A，與y軸交于點B；等腰直角△PQC中，PQ=PC；點P在x軸上，點Q在y軸上，點C在直線AB上，且位于點A的上方．
（1）如果點C的坐標為（5，m），求出點Q的坐標；
（2）如果點C的坐標為（x，y）（x＞y），求出點Q的坐標；
（3）把直線AB向下平移b（b＞0）個單位，請求出點Q的坐標（直接寫出結果）．

Answer 1

分析：（1）把點C的坐標（5，m）代入y=x-3求出m，得出C的坐標，證△OQP≌△MPC，得出OP=CM，OQ=PM，根據C的坐標即可求出Q的坐標；
（2）根據全等得出OQ=PM，OP=CM，代入即可求出答案；
（3）平移后的直線的解析式是y=x-3-b，設C的坐標是（x，x-3-b），根據全等得出OQ=PM，OP=CM，代入即可求出答案．

解答：解：（1）∵點C在直線y=x-3上，C的坐標是（5，m），
∴m=5-3=2，
即C（5，2），
過C作CM⊥x軸于M，
則CM=2，OM=5，
∵△PQC是等腰直角三角形，
∴∠QPC=90°，PQ=PC，
∵∠QOP=∠CMP=90°，
∴∠OQP+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠CPM=90°，
∴∠CPM=∠OQP，
在△OQP和△MPC中
∵

∠QOP=∠PMC ∠OQP=∠CPM PQ=PC

，
∴△OQP≌△MPC，
∴OQ=PM，OP=CM=2，
∴OQ=PM=5-2=3，
∴Q的坐標是（0，3）；

（2）∵C（x，y），
∴CM=y，OM=x，
由（1）得：OP=CM=y，OQ=PM=x-y，
∴Q的坐標是（0，x-y）；

（3）∵把直線AB（y=x-3）向下平移b（b＞0）個單位，
∴平移后的解析式是y=x-3-b，
∴設C的坐標是（x，x-3-b）．
由（1）知：OQ=PM，OP=CM=x-3-b，
∴OQ=PM=x-（x-3-b）=3+b，
∴Q的坐標是（0，3+b）．

點評：本題考查了一次函數，平移的規律，全等三角形的性質和判定等知識點，平移的規律是上加下減、左加右減，題目比較好，有一定的難度．