Question

【題目】如圖，是等邊三角形內一點，將線段繞點順時針旋轉60°得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為___________．

Answer 1

【答案】6+4

【解析】

連結PP′，如圖，由等邊三角形的性質得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉的性質得到CP=CP′=4，∠PCP′=60°，得到△PCP′為等邊三角形，求得PP′=PC=4，根據全等三角形的性質得到AP′=PB=5，根據勾股定理的逆定理得到△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，根據三角形的面積公式即可得到結論．

連結PP′，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CP'，
∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°，
∴△PCP′為等邊三角形，
∴PP′=PC=4，
∵∠ACP+∠BCP=60°，∠ACP+∠ACP′=60°，
∴∠BCP=∠ACP′，且AC=BC，CP=CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′=PB=5，
在△APP′中，∵PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25，
∴PP′2+AP2=AP′2，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴S四邊形APCP′=S△APP′+S△PCP′= AP×PP′+ ×PP′2=6+4 ，
故答案為：6+4．