Question

【題目】如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQ⊥OD于點Q，點I為△OPQ的內心，過O、I和D三點的圓的半徑為r，則當點P在弧AD上運動時，求r的值．

Answer 1

【答案】r的值為3．

【解析】

連OI，PI，DI，由△OPH的內心為I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-

（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優弧AO取點P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O=180°-135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3 ．

解：如圖，連OI，PI，DI，

∵△OPH的內心為I，

∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OD，即∠PHO=90°，

∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，

在△OPI和△ODI中，

，

∴△OPI≌△ODI（SAS），

∴∠DIO=∠PIO=135°，

所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；

過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，

在優弧DO取點P′，連P′D，P′O，

∵∠DIO=135°，

∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，

∴∠DO′O=90°，而OD=6，

∴OO′=DO′=3，

∴r的值為3．