Question

【題目】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．

問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長度的一半即可證明；

(2)延長EG、AD交于P點，連接CE、CP，先證明△EGF≌△DGP，再證明△BEC≌△DPC，從而得到△ECP是等腰直角三角形，由△EGF≌△DGP可得G是EP中點，故可證明結論仍然成立.

證明：（1）∵在Rt△DEF中，EG是斜邊上的中線

∴DF=2EG

∵在Rt△DCF中，CG是斜邊上的中線

∴DF=2CG

∴EG=CG

（2）如圖2

延長EG，AD交于P點，連接CE，CP

∵四邊形ABCD是正方形

∴BC=CD，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABD=45°

∵EF⊥AB

∴∠ABD=∠EFB=45°

∴EF=BE

∵AD⊥AB，EF⊥AB

∴EF∥AD

∴∠DPE=∠PEF，且DG=GF，∠EGF=DGP

∴△EGF≌△DGP

∴EG=GP，EF=DP

∴BE=DP且BC=CD，∠EBC=∠PDC=90°

∴△BEC≌△DPC

∴EC=PC，∠ECB=∠ECP

∵∠ECB+∠ECD=90°

∴∠DCP+∠ECD=90°

∴∠ECP=90°且EC=CP

∴△ECP是等腰直角三角形，且EG=GP

∴CG⊥EP，CG=EG．