Question

【題目】已知銳角∠MBN的余弦值為，點C在射線BN上，BC＝25，點A在∠MBN的內部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．過點A的直線DE分別交射線BM、射線BN于點D、E．點F在線段BE上（點F不與點B重合），且∠EAF＝∠MBN．

（1）如圖1，當AF⊥BN時，求EF的長；

（2）如圖2，當點E在線段BC上時，設BF＝x，BD＝y，求y關于x的函數解析式并寫出函數定義域；

（3）聯結DF，當△ADF與△ACE相似時，請直接寫出BD的長．

Answer 1

【答案】（1）16（2）（3）或

【解析】

（1）由銳角三角函數可求AC＝15，根據勾股定理和三角形面積公式可求AB，AF的長，即可求EF的長；

（2）通過證△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA，可得y關于x的函數解析式；

（3）分△ADF∽△CEA，△ADF∽△CAE兩種情況討論，通過等腰三角形的性質和相似三角形性質可求BD的長．

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

∴cos∠BCA＝cos∠MBN＝，

∴

∴AC＝15

∴AB＝＝20

∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF，

∴AF＝＝12，

∵AF⊥BC

∴cos∠EAF＝cos∠MBN＝

∴AE＝20

∴EF＝＝16

（2）如圖，過點A作AH⊥BC于點H，

由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，

∴BH＝＝16，

∵BF＝x，

∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，

∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，

∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN

∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，

∴△FAE∽△FCA

∴，∠AEF＝∠FAC，

∴AF2＝FC×EF

∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，

∴EF＝

∴BE＝BF+EF＝

∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠FAC，

∴△BDE∽△CFA

∴

∴

∴y＝（0<x≤）

（3）如圖，若△ADF∽△CEA，

∵△△ADF∽△CEA，

∴∠ADF＝∠AEC，

∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，

∴∠DAF+∠MBN＝180°，

∴點A，點F，點B，點D四點共圓，

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，

∴AB＝AE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，

∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，

∴∠BDE＝90°＝∠AFC，

∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AF，

∴AF＝＝12，

∴BF＝，

∵AB＝AE，∠AFC＝90°，

∴BE＝2BF＝32，

∴cos∠MBN＝，

∴BE＝，

如圖，若△ADF∽△CAE，

∵△ADF∽△CAE，

∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，

∴AC∥DF

∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，

∴∠MBN＝∠DFB，

∴DF＝BD，

∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，

∴∠DAF+∠MBN＝180°，

∴點A，點F，點B，點D四點共圓，

∴∠ADF＝∠ABF，

∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，

∴△ABE∽△CAE

∴

設CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）

∴BE＝k，

∵BC＝BE﹣CE＝25

∴k＝

∴AE＝，CE＝，BE＝

∵∠ACB＝∠FAE，∠AFC＝∠AFE，

∴△AFC∽△EFA，

∴，

設AF＝7a，EF＝20a，

∴CF＝a，

∵CE＝EF﹣CF＝a＝，

∴a＝，

∴EF＝，

∵AC∥DF，

∴，

∴，

∴DF＝，

綜上所述：當BD為或時，△ADF與△ACE相似